Để chứng minh 5/8 < A < 3/4, ta sẽ chứng minh từng phần.

Đầu tiên, ta chứng minh 5/8 < A.

Ta có: A = 1/101 + 1/102 + 1/103 + ... + 1/200

Ta thấy rằng 1/101 + 1/102 + 1/103 + 1/104 > 4 * 1/104 = 1/26

1/105 + 1/106 + 1/107 + 1/108 > 4 * 1/108 = 1/27

...

1/197 + 1/198 + 1/199 + 1/200 > 4 * 1/200 = 1/50

Tổng các phần tử từ 1/101 đến 1/200 lớn hơn 1/26 + 1/27 + ... + 1/50

Ta có: 1/26 + 1/27 + ... + 1/50 > (1/26 + 1/50) * 25 = 75/1300 = 3/52

Vậy A > 3/52

Ta cũng có: 5/8 = 40/64 = 40/52

Vậy 5/8 < A.

Tiếp theo, ta chứng minh A < 3/4.

Ta có: A = 1/101 + 1/102 + 1/103 + ... + 1/200

Ta thấy rằng 1/101 + 1/102 + 1/103 + 1/104 < 4 * 1/101 = 4/101

1/105 + 1/106 + 1/107 + 1/108 < 4 * 1/105 = 4/105

...

1/197 + 1/198 + 1/199 + 1/200 < 4 * 1/197 = 4/197

Tổng các phần tử từ 1/101 đến 1/200 nhỏ hơn 4/101 + 4/105 + ... + 4/197

Ta có: 4/101 + 4/105 + ... + 4/197 < (4/101 + 4/197) * 50 = 800/10197

Vậy A < 800/10197

Ta cũng có: 3/4 = 303/404

Vậy A < 303/404.

Từ đó, ta có: 5/8 < A < 3/4.