Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình x^2 - x(y-1) + y + 3 = 0, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn chỉnh.

Đầu tiên, ta xem xét phương trình như một phương trình bậc hai theo x:

x^2 - x(y-1) + y + 3 = 0

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

x = [(y-1) ± √((y-1)^2 - 4(y+3))] / 2

Để x là số nguyên, thì (y-1)^2 - 4(y+3) phải là một bình phương của một số nguyên. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:

(y-1)^2 - 4(y+3) = k^2

Trong đó, k là một số nguyên.

Tiếp theo, ta sẽ giải phương trình trên để tìm các giá trị của y. Sau đó, ta sẽ tính giá trị tương ứng của x bằng cách sử dụng công thức đã cho.

Đặt z = y - 1, phương trình trở thành:

z^2 - 4(z+4) = k^2

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:

z^2 - 4z - 16 = k^2

Điều này tương đương với:

z^2 - 4z - (k^2 + 16) = 0

Đây là một phương trình bậc hai. Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

z = [4 ± √(16 + 4(k^2 + 16))] / 2

z = [4 ± √(4k^2 + 80)] / 2

z = 2 ± √(k^2 + 20)

Để z là số nguyên, thì k^2 + 20 phải là một bình phương của một số nguyên. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:

k^2 + 20 = m^2

Trong đó, m là một số nguyên.

Đây là một phương trình Diofant, và ta có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố. Tuy nhiên, trong trường hợp này, không có giá trị nào của k thỏa mãn phương trình trên.

Vì vậy, không có cặp số nguyên (x;y) nào thỏa mãn phương trình ban đầu.