Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các định lý về góc và đường thẳng.

a) Ta có IB = IQ (theo đề bài), và IB ⊥ MN (vì IB là đường thẳng vuông góc với MN). Vậy IB là đường cao của tam giác IMN. Do đó, ta có MB = MQ (vì đường cao chia đôi cạnh đối diện).

b) Ta cần chứng minh MN là tia phân giác của góc PMQ. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng góc IMN = góc QMN.

Gọi x = góc IMN và y = góc QMN. Ta có góc IMB = 90° (vì IB ⊥ MN), và góc QMB = 90° (vì IQ ⊥ MN). Vậy góc IMB = góc QMB.

Do đó, ta có:
x + góc IMB + góc BMI = 180° (tổng các góc trong tam giác IMB) (1)
y + góc QMB + góc BMQ = 180° (tổng các góc trong tam giác QMB) (2)

Từ (1) và (2), ta có:
x + 90° + góc BMI = y + 90° + góc BMQ
x + góc BMI = y + góc BMQ

Vì IB là đường cao của tam giác IMN, nên góc BMI = góc BMQ. Vậy ta có:
x = y

Vậy MN là tia phân giác của góc PMQ.

c) Ta cần chứng minh góc MPQ = góc MQP.

Gọi z = góc MPQ và t = góc MQP. Ta có góc IMB = 90° (vì IB ⊥ MN), và góc QMB = 90° (vì IQ ⊥ MN). Vậy góc IMB = góc QMB.

Do đó, ta có:
góc IMB + góc BMI + góc MPQ = 180° (tổng các góc trong tam giác IMB) (3)
góc QMB + góc BMQ + góc MQP = 180° (tổng các góc trong tam giác QMB) (4)

Từ (3) và (4), ta có:
90° + góc BMI + z = 180°
90° + góc BMQ + t = 180°

Vì góc BMI = góc BMQ, nên ta có:
90° + góc BMI + z = 90° + góc BMQ + t
z = t

Vậy góc MPQ = góc MQP.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).