Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)

a. Ta có:
- Góc BFC = 90° (do BF là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BEC = 90° (do CE là đường cao của tam giác ABC)
=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. Ta có:
- Góc AEF = Góc ABC (cùng chắn cung AM trên đường tròn (O))
- Góc A4BC = Góc ABC (cùng chắn cung AM trên đường tròn (O))
=> Góc AEF = Góc A4BC
=> Tứ giác A4EF và A4BC đồng dạng.
Từ đó, suy ra: AE/AB = EF/BC
=> AE/BC = AB/EF

c. Ta có:
- OI là đường kính của đường tròn (O) (do OI vuông góc với BC và đi qua tâm O)
- Là trung điểm của BC (do đường cao CF chia BC thành hai đoạn bằng nhau)
=> OI song song với EF (do EF song song với BC)
=> OI vuông góc với EF
=> OI là đường cao của tam giác A4EF
=> OI cắt EF tại điểm K
- AK là đường kính của đường tròn (O) (do A, O, K thẳng hàng)
=> H, I, K thẳng hàng.

d. Để chu vi tam giác EAM lớn nhất, ta cần chọn điểm A sao cho đường cao CF là đường cao dài nhất của tam giác ABC.