Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = | 2014 - x | + | 2015 - x | + | 2016 - x | xảy ra khi x nằm giữa 2015 và 2016.

Khi x nằm giữa 2015 và 2016, ta có:
| 2014 - x | = x - 2014
| 2015 - x | = 2015 - x
| 2016 - x | = x - 2016

Vậy biểu thức A = (x - 2014) + (2015 - x) + (x - 2016) = 3x - 4015.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x - 4015.

Hàm số f(x) là một đường thẳng có hệ số góc dương, nghĩa là nó tăng khi x tăng. Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) xảy ra khi x đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng (2015, 2016).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là f(2015) = 3(2015) - 4015 = 6045 - 4015 = 2030.