Cho dãy số (un) có: u(1) = 1 và u(n+1) = [1 + 3/n]•[u(n)] + 2 - 3/n. Chứng minh rằng dãy số trên chỉ chứa giá trị nguyên

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng dãy số (un) chỉ chứa giá trị nguyên.

Bước cơ sở: Ta có u(1) = 1 là một số nguyên.

Giả sử u(k) là một số nguyên với k là một số nguyên dương.

Bước quy nạp: Ta sẽ chứng minh u(k+1) cũng là một số nguyên.

Theo công thức đề cho, ta có:
u(k+1) = [1 + 3/k]•[u(k)] + 2 - 3/k

Vì u(k) là một số nguyên và k là một số nguyên dương, nên ta chỉ cần chứng minh rằng [1 + 3/k]•[u(k)] + 2 - 3/k cũng là một số nguyên.

Ta có:
[1 + 3/k]•[u(k)] + 2 - 3/k = [u(k) + 3u(k)/k] + 2 - 3/k = [u(k) + 3u(k)/k + 2k - 3]/k

Ta sẽ chứng minh rằng u(k) + 3u(k)/k + 2k - 3 là một số nguyên.

Vì u(k) là một số nguyên và k là một số nguyên dương, nên 3u(k)/k là một số nguyên.

Vì 2k là một số nguyên và 3 là một số nguyên, nên 2k - 3 cũng là một số nguyên.

Vậy u(k) + 3u(k)/k + 2k - 3 là một số nguyên.

Do đó, u(k+1) cũng là một số nguyên.

Vậy theo quy nạp, ta có dãy số (un) chỉ chứa giá trị nguyên.