Cho (O;R) và (O';R') tiếp xúc nhau tại A. Trên một nửa mặt phẳng bờ OO' vẽ các bán kính OB và O'C song song với nhau

a) Ta có OB và O'C song song với nhau, do đó góc AOB và góc AOC là góc đồng quy. Vì OB và O'C tiếp xúc nhau tại A, nên góc AOB và góc AOC là góc phân giác của nhau. Do đó, góc AOB = góc AOC.

Ta có OB = O'C (vì OB và O'C là bán kính của hai đường tròn đồng tâm), OA = OA (cạnh chung), nên theo nguyên lý cạnh - góc - cạnh, ta có △OAB ≡ △O'AC (cạnh - góc - cạnh).

Từ đó, ta có góc BAO = góc CAO'. Vì góc BAO + góc CAO' = 180° (góc bù), nên góc BAO = góc CAO' = 90°.

Vậy, △ABC vuông tại A.

b) Độ dài lớn nhất của AH là độ dài đường cao từ A xuống BC. Để tính độ dài này, ta cần biết độ dài cạnh BC.

Do △ABC vuông tại A, nên ta có đẳng thức Pythagoras: AB^2 + AC^2 = BC^2.

Vì OB và O'C là bán kính của hai đường tròn đồng tâm, nên OB = O'C. Do đó, AB = AC (cạnh chung).

Vậy, AB^2 + AC^2 = 2AB^2 = BC^2.

Độ dài lớn nhất của AH là độ dài đường cao từ A xuống BC, nên AH = √(AB^2 - (BC/2)^2).

Thay AB = AC và BC = 2AB vào, ta có: AH = √(AB^2 - (2AB/2)^2) = √(AB^2 - AB^2) = √0 = 0.

Vậy, độ dài lớn nhất của AH là 0.