1) Ta có HA = HD (theo đề bài).
Gọi E là trung điểm của AD. Khi đó, ta có HE là đường trung trực của AD.
Vì tam giác ABC có 3 góc đều nhọn nên ta có tam giác AHE cân tại A.
Do đó, ta có AE = AH = AD/2.
Mà HA = HD nên ta có AE = DE.
Vậy tam giác AED là tam giác cân tại E.
Do đó, ta có góc AED = góc ADE.
Nhưng góc AED = góc CED (do AD || BC), nên góc ADE = góc CED.
Vậy ta có góc CED = góc ADE = góc ACD.
Mà góc CED = góc CAD + góc ACD, nên góc CAD = 0.
Vậy ta có CA = CD.

2) Ta có HM || DN (do HM và DN cùng vuông góc với AC).
Vì HC là đường phân giác của góc MHN nên ta có góc MHC = góc NHC.

3) Ta có HC là đường phân giác của góc MHN (theo câu 2).
Vì HC cắt MN tại điểm H nên HC là đường trung trực của MN.

4) Để AB || CD, ta cần chọn vị trí của điểm H sao cho HC || AB.
Vì HC là đường trung trực của MN (theo câu 3) nên ta chọn H là trung điểm của BC.