a/ Ta có:
- OM là đường phân giác góc AOB (do MA và MB là tiếp tuyến).
- AH và BH là tiếp tuyến của (O) nên OA và OB là đường phân giác góc MAH và MBH.
- Vậy, OM là đường phân giác góc MOH.
- Do đó, OM vuông góc AB.
- Ta có: AM^2 = AO^2 + OM^2 và AH^2 = AO^2 + OH^2.
- Vì AH = BH nên AO^2 + OM^2 = AO^2 + OH^2.
- Từ đó, OM^2 = OH^2.
- Vậy, AM^2 = MO.MH.

b/ Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AC và BD.
- Ta có: AE là tiếp tuyến của (O) (do AC là đường kính).
- Vậy, OA là đường phân giác góc MAE.
- Ta có: OE là đường phân giác góc MOE.
- Do đó, OM là đường phân giác góc MOE.
- Vậy, OM vuông góc ME.
- Ta có: MC là đường phân giác góc MCE (do AC là đường kính).
- Vậy, MC vuông góc ME.
- Từ đó, tam giác ACD vuông tại C.
- Ta có: MH^2 = MO^2 + OH^2 và MD^2 = MO^2 + OD^2.
- Vì OH = OD nên MO^2 + OH^2 = MO^2 + OD^2.
- Từ đó, MO^2 = OD^2.
- Vậy, MH.MO = MD.MC.

c/ Ta có:
- Ta có: OM là đường phân giác góc MOH và OA là đường phân giác góc MAH.
- Vậy, OM là đường phân giác góc MOA.
- Ta có: OA là đường phân giác góc MAO và OB là đường phân giác góc MBO.
- Vậy, OB là đường phân giác góc MOB.
- Từ đó, OB là đường phân giác góc MOB.
- Vậy, OB vuông góc AB.
- Ta có: AK là đường phân giác góc MAK và AB là đường phân giác góc MAB.
- Vậy, AB là đường phân giác góc AMK.
- Từ đó, AB vuông góc MK.
- Vậy, KI vuông góc AM tại E.
- Ta có: HF/HB = HF/HA + FA/FB và FH/MB = FH/MA + FA/FB.
- Từ đó, HF/HB + FH/MB = (HF/HA + FA/FB) + (FH/MA + FA/FB) = (HF + FH)/(HA + MA) + (FA + FA)/(FB + MB) = 2.(FA + FH)/(HA + MA + FB + MB).
- Vậy, KE/AK = 1 - KE/AK = 1 - (FA + FH)/(HA + MA + FB + MB) = (HA + MA + FB + MB - FA - FH)/(HA + MA + FB + MB) = (HB + MB - FA)/(HA + MA + FB + MB) = (HB - FA + MB)/(HA + MA + FB + MB).
- Từ đó, KE/AK = HF/HB + FH/MB.