Tìm các số nguyên dương m; n

Để 2m^2+3mn+n^2+4 là số nguyên, ta cần phải thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1. (2m^2+2mn) chia hết cho (mn+n^2+4)
2. (mn+n^2+4) chia hết cho (mn+n^2+4)

Điều kiện thứ 2 luôn đúng vì mọi số tự nhiên đều chia hết cho chính nó.

Điều kiện thứ 1 tương đương với (2m^2+2mn) chia hết cho (mn+n^2+4).

Ta có thể viết lại điều kiện thứ 1 dưới dạng:

(2m^2+2mn) - (mn+n^2+4) chia hết cho (mn+n^2+4)

Simplifying the expression, we get:

m^2 + mn - n^2 - 4 chia hết cho (mn+n^2+4)

Ta có thể viết lại điều kiện thứ 1 dưới dạng:

(m^2 + mn - n^2 - 4) - (mn+n^2+4) chia hết cho (mn+n^2+4)

Simplifying the expression, we get:

m^2 - 2n^2 - 8 chia hết cho (mn+n^2+4)

Điều kiện trên tương đương với m^2 - 2n^2 - 8 = k(mn+n^2+4), với k là một số nguyên.

Đây là một phương trình Diofant, và có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp giảm phân.

Tuy nhiên, để tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện trên, ta cần phải sử dụng phương pháp giải phương trình Diofant.

Vì vậy, không thể trả lời nhanh câu hỏi của bạn mà không sử dụng phương pháp giải phương trình Diofant.