Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc và đường tròn.

a) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Gọi G là giao điểm của BM và OE. Ta có:
∠BOM = ∠BAM (cùng nằm trên cung BM của đường tròn (O))
∠BAM = ∠BNG (cùng nằm trên cung BN của đường tròn (O))
∠BNG = ∠BOG (cùng nằm trên cung BG của đường tròn (O))
Do đó, ta có: ∠BOM = ∠BOG
Vậy ta có thể kết luận rằng các điểm E, O, B, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến tại N và tia OE. Ta có:
∠NKB = ∠NAB (cùng nằm trên cung NA của đường tròn (O))
∠NAB = ∠NEB (cùng nằm trên cung NB của đường tròn (O))
∠NEB = ∠NKB (cùng nằm trên cung NK của đường tròn (O))
Do đó, ta có: ∠NKB = ∠NAB = ∠NEB = ∠NKB
Vậy ta có thể kết luận rằng KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

c) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tỉ số đồng dạng. Gọi H là giao điểm của AB và DK. Ta có:
∠BDF = ∠BHF (cùng nằm trên cung BF của đường tròn (O))
∠BDF = ∠BHF (cùng nằm trên cung BF của đường tròn (O))
Do đó, ta có: ∠BDF = ∠BHF
Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:
BD/DF = BH/HF
Vậy ta có thể kết luận rằng BD/DF + DF/HF = 1.

Vậy ta đã giải được bài toán.