Chứng minh rằng: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/99^2 + 1/100^2 < 3/4

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý CMR (Chứng minh rằng) bằng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng:
1 phần n mũ 2 < 1/4 với mọi n thuộc N*.

Với n = 1, ta có:
1 phần 1 mũ 2 = 1/1 mũ 2 = 1 < 1/4.

Giả sử đẳng thức trên đúng với n = k, tức là:
1 phần k mũ 2 < 1/4.

Ta sẽ chứng minh rằng đẳng thức trên cũng đúng với n = k + 1:
1 phần (k + 1) mũ 2 = 1 phần k mũ 2 + 1 phần (k + 1) mũ 2 < 1/4 + 1 phần (k + 1) mũ 2.

Ta sẽ chứng minh rằng 1/4 + 1 phần (k + 1) mũ 2 < 1/4.

Ta có:
1/4 + 1 phần (k + 1) mũ 2 < 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 1 phần (k + 1) mũ 2 < 1/2.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng:
1 phần 2 mũ 2 + 1 phần 3 mũ 2 + ... + 1 phần 100 mũ 2 < 3/4.

Ta có:
1 phần 2 mũ 2 + 1 phần 3 mũ 2 + ... + 1 phần 100 mũ 2 < 1/4 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/2 (99 số hạng) + 1/2 = 1/4 + 99/2 + 1/2 = 1/4 + 100/2 = 1/4 + 50 = 51/4.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 1 phần 2 mũ 2 + 1 phần 3 mũ 2 + ... + 1 phần 100 mũ 2 < 51/4 < 3/4.