Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, góc ASB=90 độ, góc BSC=60 độ, góc CSA=120 độ. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh SI vuông góc ( ABC )

Để chứng minh SI vuông góc (ABC), ta cần chứng minh rằng SI vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Gọi M là trung điểm SB.

Ta có:
- Góc ASB = 90 độ (theo đề bài)
- Góc BSC = 60 độ (theo đề bài)
- Góc CSA = 120 độ (theo đề bài)
- SA = SB = SC (theo đề bài)
- I là trung điểm AC (theo đề bài)
- M là trung điểm SB

Vì SA = SB = SC, nên tam giác SAB và tam giác SBC là tam giác đều.

Vì góc ASB = 90 độ, nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Vì góc BSC = 60 độ, nên tam giác SBC là tam giác đều.

Vậy, ta có:
- SA = SB = SC
- Góc ASB = 90 độ
- Góc BSC = 60 độ
- Tam giác SAB và tam giác SBC là tam giác đều

Do đó, ta có:
- IA = IC (vì I là trung điểm AC)
- MA = MC (vì M là trung điểm SB)

Vậy, ta có:
- Tam giác IMA là tam giác cân tại I
- Tam giác IMC là tam giác cân tại I

Vì IA = IC và MA = MC, nên tam giác IAC và tam giác IMC là hai tam giác đồng dạng.

Vậy, ta có:
- Góc IAC = Góc IMC (do hai tam giác đồng dạng)
- Góc IAC + Góc IMC = 180 độ (do tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ)

Từ đó, ta suy ra:
- Góc IAC = Góc IMC = 90 độ / 2 = 45 độ

Vậy, ta có:
- Góc IAC = 45 độ
- Góc IMC = 45 độ

Vì góc IAC = góc IMC = 45 độ, nên tam giác IAC và tam giác IMC là hai tam giác vuông cân.

Vậy, ta có:
- IA vuông góc AC
- IM vuông góc MC

Vì I là trung điểm AC và M là trung điểm SB, nên ta có:
- IM song song với SB

Vậy, ta có:
- IM vuông góc MC
- IM song song với SB

Do đó, ta suy ra:
- IM vuông góc (ABC)

Vậy, ta đã chứng minh được rằng SI vuông góc (ABC).