Để chứng minh AD nằm giữa hai tia AH và AM, ta cần chứng minh rằng góc MAD nằm giữa hai góc HAD và HAM.

Ta có:
- Góc HAD là góc vuông (vì AH vuông góc với BC).
- Góc HAM là góc nửa vuông (vì M là trung điểm của BC).

Vậy, ta cần chứng minh góc MAD cũng là góc nửa vuông.

Ta có:
- Góc MAD là góc phân giác của góc A.
- Góc MAD cắt BC tại điểm D.

Để chứng minh góc MAD là góc nửa vuông, ta cần chứng minh rằng tam giác MAD là tam giác vuông.

Ta có:
- Góc MAD là góc phân giác của góc A, nên MAD = 1/2 * A.
- Góc MAD cắt BC tại điểm D, nên MAD = 1/2 * BDC (do góc phân giác chia đôi góc tại điểm cắt).
- Vì BDC là góc nửa vuông (vì M là trung điểm của BC), nên BDC = 90°.

Từ đó, ta có:
MAD = 1/2 * A = 1/2 * BDC = 1/2 * 90° = 45°.

Vậy, ta đã chứng minh được góc MAD là góc nửa vuông.

Do đó, ta kết luận rằng AD nằm giữa hai tia AH và AM.