Để rút gọn các phân thức, ta cần tìm các thừa số chung của các đa thức trong tử số và mẫu số.

1) Rút gọn phân thức x^3 - x^2 + x - 1 / x^2 - 1:
Tử số và mẫu số không có thừa số chung, nên phân thức không thể rút gọn thêm.

2) Rút gọn phân thức x^3 + 27 / x^2 + 6x + 9:
Tử số là tổng lập phương của x^3 và 27, mẫu số là tổng lập phương của x^2, 6x và 9. Ta có công thức: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
Áp dụng công thức này, ta có:
x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Vậy, phân thức có thể rút gọn thành (x + 3)(x^2 - 3x + 9) / (x + 3)^2.
Chú ý rằng nếu x = -3, mẫu số sẽ bằng 0, nên phân thức không xác định tại x = -3.

3) Rút gọn phân thức x^4 - 1 / x^2 - 2x + 1:
Tử số là hiệu bình phương của x^4 và 1, mẫu số là hiệu bình phương của x^2, -2x và 1. Ta có công thức: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).
Áp dụng công thức này, ta có:
x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Vậy, phân thức có thể rút gọn thành (x^2 + 1)(x^2 - 1) / (x - 1)^2.
Chú ý rằng nếu x = 1, mẫu số sẽ bằng 0, nên phân thức không xác định tại x = 1.