Để chứng minh rằng √7 là số vô tỉ, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử √7 là số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng a/b, trong đó a và b là hai số nguyên không có ước chung. Ta có:

√7 = a/b

Bình phương cả hai vế của phương trình ta được:

7 = (a/b)^2

7b^2 = a^2

Từ phương trình trên, ta thấy a^2 chia hết cho 7, do đó a cũng chia hết cho 7. Khi đó, a có thể biểu diễn dưới dạng a = 7k, với k là một số nguyên.

Thay a = 7k vào phương trình ta được:

7b^2 = (7k)^2

7b^2 = 49k^2

b^2 = 7k^2

Tương tự như trên, ta thấy b^2 chia hết cho 7, do đó b cũng chia hết cho 7. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng a và b không có ước chung.

Vì vậy, giả sử ban đầu là sai. Do đó, √7 không thể biểu diễn dưới dạng a/b, với a và b là hai số nguyên không có ước chung. Từ đó, ta kết luận rằng √7 là số vô tỉ.