Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho BD/BC=3/4

a) Tính tỉ số AE/ED:
Ta có AE/AD = 1/3 và AD = AE + ED
=> AE/ED = (AE/AD) / (1 - AE/AD) = (1/3) / (1 - 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2

Tính tỉ số BD/DC:
Ta có BD/BC = 3/4 và BC = BD + DC
=> BD/DC = (BD/BC) / (1 - BD/BC) = (3/4) / (1 - 3/4) = (3/4) / (1/4) = 3/1 = 3

b) C/m: EK.AI = DI.AK
Theo định lí Menelaus, áp dụng cho tam giác ABC và đường thẳng BE, ta có:
(AK/KB) * (BC/CD) * (DE/EA) = 1
Vì BD/DC = 3/4, nên BC/CD = 7/4
Vì AE/ED = 1/2, nên DE/EA = 2/1
=> (AK/KB) * (7/4) * (2/1) = 1
=> (AK/KB) = 2/7

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BD, ta có:
(DI/IC) * (CB/BA) * (AE/ED) = 1
Vì BD/DC = 3/4, nên CB/BA = 7/3
Vì AE/ED = 1/2, nên (DI/IC) * (7/3) * (1/2) = 1
=> (DI/IC) = 3/7

Vậy EK.AI = (AK/KB) * (DI/IC) = (2/7) * (3/7) = 6/49

c) C/m: EK.AI.CK = BK.AK.CI
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BE, ta có:
(AK/KB) * (BC/CD) * (DE/EA) = 1
Vì BD/DC = 3/4, nên BC/CD = 7/4
Vì AE/ED = 1/2, nên DE/EA = 2/1
=> (AK/KB) * (7/4) * (2/1) = 1
=> (AK/KB) = 1/(7/4*2/1) = 4/14 = 2/7

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BD, ta có:
(BK/KC) * (CA/AD) * (DE/EB) = 1
Vì BD/DC = 3/4, nên (BK/KC) * (4/3) * (DE/EB) = 1
=> (BK/KC) * (DE/EB) = 3/4

Vậy EK.AI.CK = (AK/KB) * (BK/KC) * (DE/EB) = (2/7) * (3/4) = 6/28 = 3/14

d) Tính tỉ số AK/KC:
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BD, ta có:
(BK/KC) * (CA/AD) * (DE/EB) = 1
Vì AE/ED = 1/2, nên (CA/AD) * (2/1) * (DE/EB) = 1
=> (CA/AD) * (DE/EB) = 1/2

Vậy (BK/KC) = 1/(CA/AD * DE/EB) = 1/(2/1 * 1/2) = 1/1 = 1

Tỉ số AK/KC = (AK/KB) * (BK/KC) = (2/7) * (1/1) = 2/7