Để giải các bài toán liên quan đến hình chóp tam giác đều, ta sẽ sử dụng một số công thức cơ bản.

### a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC.

1. **Tính diện tích đáy**:
- Đáy ABC là tam giác đều với độ dài cạnh \( a = 5 \) cm.
- Diện tích của tam giác đều có công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]
- Thay số vào:
\[
S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2
\]

2. **Tính diện tích xung quanh (SXQ)**:
- Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là tổng của diện tích ba tam giác:
- Diện tích một tam giác bên (SAB, SBC, SAC) sẽ được tính bằng:
- Diện tích tam giác = \(\frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao}\)
- Đáy là cạnh đáy và cao là trung đoạn:
\[
S_{SAB} = \frac{1}{2} \times a \times \text{trung đoạn} = \frac{1}{2} \times 5 \times 9 = 22.5 \text{ cm}^2
\]
- Diện tích xung quanh tổng cộng:
\[
S_{XQ} = 3 \times S_{SAB} = 3 \times 22.5 = 67.5 \text{ cm}^2
\]

### b) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.

1. **Tính chiều cao**:
- Chiều cao \( h = 12 \) cm.

2. **Thể tích**:
- Công thức thể tích hình chóp:
\[
V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h
\]
- Thay số vào:
\[
V = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times 12
\]
\[
V = \frac{25\sqrt{3}}{12} \text{ cm}^3
\]

### c) Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

1. **Diện tích đáy**:
- Đáy là hình vuông với cạnh \( a = 15 \) cm:
\[
S_{ABCD} = a^2 = 15^2 = 225 \text{ cm}^2
\]

2. **Chiều cao**:
- Chiều cao \( h = 18 \) cm.

3. **Thể tích**:
- Thay vào công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h = \frac{1}{3} \times 225 \times 18
\]
- Tính thể tích:
\[
V = \frac{4050}{3} = 1350 \text{ cm}^3
\]

### Tổng kết:
- Diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \( 67.5 \text{ cm}^2 \).
- Thể tích của hình chóp S.ABCD là \( \frac{25\sqrt{3}}{12} \text{ cm}^3 \).
- Thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là \( 1350 \text{ cm}^3 \).