Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, Góc B gấp đôi góc C và AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đường thẳng MH, AB cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác và tứ giác.

a. Ta có góc B gấp đôi góc C, nên góc BAC = 3góc C. Vì tam giác ABC có ba góc nhọn, nên góc BAC < 90°. Do đó, góc C < 30°.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Ta có góc BIC = 180° - góc BCI - góc CBI = 180° - góc C - góc CBI = 180° - góc C - (180° - góc BAC) = góc BAC - góc C = 2góc C - góc C = góc C.

Vậy tam giác BIC cân tại I.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng BM và CI. Ta có MP || AC (do M là trung điểm của AC) và MP = AC/2 (do M là trung điểm của AC).

Vì tam giác BIC cân tại I, nên IP là đường cao của tam giác BIC. Do đó, góc MPI = 90°.

Vậy tam giác MHC cân tại M.

b. Ta có góc BIC = góc C (do tam giác BIC cân).

Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Ta có MO || AB (do M là trung điểm của AC) và MO = AB/2 (do M là trung điểm của AC).

Vì tam giác BIC cân tại I, nên IO là đường cao của tam giác BIC. Do đó, góc MIO = 90°.

Vậy tứ giác NBMC nội tiếp trong một đường tròn.

c. Ta có góc BAC = 3góc C.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng BM và CI. Ta có MP || AC (do M là trung điểm của AC) và MP = AC/2 (do M là trung điểm của AC).

Gọi Q là giao điểm của đường thẳng BM và AH. Ta có MQ || AH (do M là trung điểm của AC) và MQ = AH/2 (do M là trung điểm của AC).

Vì tam giác BIC cân tại I, nên IP là đường cao của tam giác BIC. Do đó, góc MPI = 90°.

Vì tam giác MHC cân tại M, nên MH là đường cao của tam giác MHC. Do đó, góc MHQ = 90°.

Từ đó, ta có góc MPQ = góc MHQ - góc MPI = 90° - 90° = 0°.

Vậy tam giác MPQ là tam giác thẳng.

Ta có MQ = AH/2 và MP = AC/2.

Vì tam giác MPQ là tam giác thẳng, nên theo định lý Pythagoras, ta có MQ^2 = MP^2 + PQ^2.

Từ đó, ta có (AH/2)^2 = (AC/2)^2 + PQ^2.

Simplifying, ta có AH^2/4 = AC^2/4 + PQ^2.

Nhân cả hai vế của phương trình với 4, ta có AH^2 = AC^2 + 4PQ^2.

Vì PQ = NB (do NB || AC và N là giao điểm của BM và AC), nên ta có AH^2 = AC^2 + 4NB^2.

Vì góc BAC = 3góc C, nên ta có AC = AB.

Từ đó, ta có AH^2 = AB^2 + 4NB^2.

Vậy 2MH^2 = AB^2 + AB.BH.