a) Khi m = -1, ta có phương trình x² - (2(-1)+5)x + 2(-1)+1 = 0
Simplifying the equation, we get: x² + 7x - 1 = 0

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Áp dụng vào phương trình trên, ta có: a = 1, b = 7, c = -1
x = (-7 ± √(7² - 4(1)(-1))) / (2(1))
x = (-7 ± √(49 + 4)) / 2
x = (-7 ± √53) / 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm khi m = -1 là x = (-7 + √53) / 2 và x = (-7 - √53) / 2.

b) Để chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, ta cần chứng minh rằng Δ = b² - 4ac > 0.

Trong phương trình x² - (2m+5)x + 2m+1 = 0, ta có a = 1, b = -(2m+5), c = 2m+1.

Δ = b² - 4ac = (-(2m+5))² - 4(1)(2m+1) = 4m² + 20m + 25 - 8m - 4 = 4m² + 12m + 21

Để chứng minh Δ > 0, ta cần chứng minh rằng 4m² + 12m + 21 > 0.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng định lí về dấu của hàm bậc hai. Ta có:

Δ' = 12² - 4(4)(21) = 144 - 336 = -192 < 0

Vì Δ' < 0, nên phương trình 4m² + 12m + 21 > 0 với mọi m.

Vậy, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.