Cho các số thực x, y, z thoản mãn

Để chứng minh rằng xyz < 1, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử xyz ≥ 1, ta sẽ chứng minh rằng (x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(x+2) ≤ (x+2)(y+2)(z+2).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(x+2) ≤ [(x+2)(y+2)(z+2)]^(1/3) * 3

Vì xyz ≥ 1, nên (x+2)(y+2)(z+2) ≥ (1+2)(1+2)(1+2) = 27.

Do đó, ta có:
(x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(x+2) ≤ [(x+2)(y+2)(z+2)]^(1/3) * 3 ≤ 27^(1/3) * 3 = 9.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng (x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(x+2) > (x+2)(y+2)(z+2), nên ta có mâu thuẫn.

Vì vậy, giả sử ban đầu xyz ≥ 1 là sai.

Do đó, ta kết luận rằng xyz < 1.