Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Vẽ ở phía ngoài tam giác các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AC, AB. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của BD, CE với các nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng AI = AK

Để chứng minh AI = AK, ta sẽ sử dụng định lí nửa đường tròn.

Gọi O1, O2 lần lượt là trung điểm của AC và AB. Ta có:

AO1 = AO2 (vì O1, O2 lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và AB)
BD ⊥ AC, CE ⊥ AB (vì BD, CE là các đường cao của tam giác ABC)
Do đó, BD || CE (vì BD và CE đều vuông góc với các cạnh AC và AB)
Vậy tam giác BDC và CEB là hai tam giác đồng dạng (vì có hai góc vuông và một góc chung)
Do đó, tỉ số đồng dạng của các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác này bằng nhau:

BD/CE = DC/EB
Vì BD || CE, ta có:

BD/CE = BC/BE (vì BD và CE là các đường cao của tam giác ABC)
Từ đó, ta có:

BC/BE = DC/EB
BC/DC = BE/EB
Do đó, tam giác BDC và CEB là hai tam giác đồng dạng (vì có hai cạnh tương ứng có tỉ số bằng nhau)
Vậy, góc BDC = góc CEB (vì các góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng nhau)
Gọi M là giao điểm của BD và CE. Ta có:

góc BDM = góc CEM (vì BD ⊥ AC và CE ⊥ AB)
góc BDM + góc CEM = 180° (vì tổng các góc trong tam giác BDC và CEB bằng 180°)
Do đó, góc BDM = góc CEM = 90°/2 = 45°
Vậy, tam giác BDM và CEM là hai tam giác vuông cân (vì có một góc vuông và hai góc bằng nhau)
Từ đó, ta có:

BM = DM (vì tam giác BDM là tam giác vuông cân)
CM = EM (vì tam giác CEM là tam giác vuông cân)
Vậy, BM = CM
Do đó, tam giác BMI và CMI là hai tam giác đồng dạng (vì có hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Từ đó, ta có:

BI/CI = BM/CM
BI/CI = 1 (vì BM = CM)
Do đó, BI = CI
Vậy, AI = AK (vì I lần lượt là giao điểm của BD và CE với các nửa đường tròn có đường kính là AC và AB)

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AI = AK.