Cho đường tròn O bán kính R đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn (AB lớn hơn hoặc bằng AC), hạ AH vuông góc tại H. Để HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC (F thuộc AB; E thuộc AC)

a, Ta có:
- Trong tam giác AHF vuông tại H, ta có: HF = AF * sin(AHF) = AF * sin(AHE) = AF * sin(A) (1)
- Trong tam giác AHE vuông tại H, ta có: HE = AE * sin(AHE) = AE * sin(A) (2)
- Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: AC = AB * sin(A) (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có: HF = AF * sin(A) = AF * (HE / AE) = AF * (AC / AB)
=> AF * AC = HF * AB

b, Ta có:
- Trong tam giác AHE vuông tại H, ta có: ∠AHE = 90° - ∠HEA = 90° - ∠HFA = ∠HFB
- Trong tam giác AEF vuông tại E, ta có: ∠AEF = 90° - ∠AFE = 90° - ∠AHF = ∠BHF

Do đó, tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.

c, Ta có:
- Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có: BH^2 = AB^2 - AH^2
=> R^2 = (AB/2)^2 - BH^2 = (5/2)^2 - 3^2 = 25/4 - 9 = 16/4 = 4
=> R = 2 cm

d, Ta có:
- Trong tam giác AHE vuông tại H, ta có: ∠AHE = 90°
- Trong tam giác AEF vuông tại E, ta có: ∠AEF = 90°
=> OA vuông góc với EF.