a, Chứng minh C, B, D thẳng hàng:
Ta có hai góc nội tiếp trên cùng cung AB, nên chúng bằng nhau: ∠CAB = ∠DBA.
Tương tự, hai góc nội tiếp trên cùng cung AB, nên chúng bằng nhau: ∠CBA = ∠DAB.
Do đó, ta có: ∠CAB + ∠CBA = ∠DBA + ∠DAB.
Suy ra: ∠CAB + ∠CBA = 180°.
Vậy C, B, D thẳng hàng.

b, Chứng minh BE.CD = AC.EF:
Ta có: ∠CAB = ∠DBA và ∠CBA = ∠DAB (do AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O')).
Do đó, hai tam giác ABC và ABD đồng dạng (cùng có hai góc bằng nhau).
Vì vậy, ta có: AC/AB = AB/AD.
Từ đó suy ra: AC.AD = AB².
Mà ta cũng có: BE/AB = AB/EF (do tam giác ABE đồng dạng với tam giác AEF).
Từ đó suy ra: BE.EF = AB².
Vậy ta có: BE.CD = AC.EF.

c, Để chu vi của tam giác BEF đạt giá trị lớn nhất, ta cần chọn đường thẳng d sao cho EF là đường cao của tam giác AEF.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên EF.
Ta cần chứng minh rằng H nằm trên đường tròn (O').
Vì AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O'), nên ∠BAH = ∠BHA.
Vì ∠BAH = 90° (do AH là đường cao của tam giác AEF), nên ∠BHA = 90°.
Do đó, H nằm trên đường tròn (O').
Vậy, để chu vi của tam giác BEF đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng d cần đi qua A và là đường cao của tam giác AEF.