a) Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAC là góc nhọn.
- AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MAN là góc nhọn.
- Góc BAC và góc MAN là góc nội tiếp của cùng một cung BMNC, nên chúng bằng nhau.
- Vì I là trung điểm của MN, nên AI là đường cao của tam giác AMN. Do đó, góc AIM và góc ANI là góc vuông.
- Ta có góc AIM = góc ANI = 90 độ, nên tứ giác AINM là tứ giác nội tiếp.
- Vậy, ta có tứ giác AINM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (O).

b) Gọi T là tâm của đường tròn (O), R là bán kính của đường tròn (O).
- Vì A, B, C, O, I cùng thuộc đường tròn (O), nên tâm của đường tròn (O) chính là tâm của tứ giác ABOC.
- Vì A, I, M, N cùng thuộc đường tròn (O), nên tâm của đường tròn (O) chính là tâm của tứ giác AIMN.
- Vậy, tâm của đường tròn (O) là tâm của tứ giác ABOC và tứ giác AIMN.

c) Ta có:
- Gọi H' là giao điểm của AO và MN.
- Vì AH' là đường cao của tam giác AMN, nên AH' vuông góc với MN.
- Vì I là trung điểm của MN, nên AH' cắt MN tại I và AH' = H'I.
- Vậy, tam giác AHH' là tam giác vuông cân tại H'.
- Vì A, H, O, H' cùng thuộc đường tròn (O), nên góc AOH' = góc H'AO.
- Vì góc AOH' = góc H'AO = 90 độ, nên tứ giác AOH'H là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (O).
- Vậy, ta có AH.AO = AH'.AH' = AM.AN.

Vậy, ta đã chứng minh được AH.AO = AM.AN.