Để chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2a^2/x tạo với các trục tọa độ thành một tam giác có diện tích không đổi, ta sẽ sử dụng tính chất của đạo hàm.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số y = 2a^2/x theo biến x:
y' = d(2a^2/x)/dx
= -2a^2/x^2

Tiếp theo, ta tính độ dài của tiếp tuyến từ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành đến giao điểm của tiếp tuyến với trục tung. Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và B là giao điểm của tiếp tuyến với trục tung.

Độ dài AB = √((x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2)

Với A, ta có x_A = x và y_A = 2a^2/x

Với B, ta có x_B = 0 và y_B = 2a^2/0 = ∞ (vì tiếp tuyến song song với trục tung)

Do đó, độ dài AB = √((x - 0)^2 + (2a^2/x - ∞)^2)
= √(x^2 + (2a^2/x)^2)

Ta sẽ tính đạo hàm của độ dài AB theo biến x:
d(AB)/dx = d(√(x^2 + (2a^2/x)^2))/dx

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm căn:
d(√(x^2 + (2a^2/x)^2))/dx = (1/2) * (x^2 + (2a^2/x)^2)^(-1/2) * (2x - 4a^2/x^3)

Simplifying this expression, we get:
d(√(x^2 + (2a^2/x)^2))/dx = (x^2 - 2a^2)/x^3 * (x^2 + (2a^2/x)^2)^(-1/2)

Để chứng minh rằng diện tích của tam giác tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ không đổi, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của độ dài AB bằng 0.

d(AB)/dx = 0
(x^2 - 2a^2)/x^3 * (x^2 + (2a^2/x)^2)^(-1/2) = 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi x^2 - 2a^2 = 0, tức là x = ±√2a^2.

Vậy, ta có hai điểm giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là (-√2a^2, 0) và (√2a^2, 0).

Do đó, tam giác tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ có diện tích không đổi là tam giác cân có đáy bằng 2√2a^2 và chiều cao bằng 2a^2.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2a^2/x tạo với các trục tọa độ thành một tam giác có diện tích không đổi.