Cho đường tròn tâm O đường kính BC=2R. A là điểm chính giữa cung BC, M di động trên cung nhỏ AC, AM cắt BC tại D..

a) Ta có:
- Vì A là điểm chính giữa cung BC nên OA vuông góc với BC và OA = OB = OC = R.
- Tam giác OAD vuông tại A nên theo định lý Pythagoras, ta có: AD² = OA² - OD² = R² - (R/2)² = 3R²/4.
- Tam giác OAM vuông tại A nên theo định lý Pythagoras, ta có: AM² = OA² + OM² = R² + R² = 2R².
- Vậy, AM.AD = √(2R²) * √(3R²/4) = √(6R⁴/4) = √(3/2)R².

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD.
- Ta có: ∠CMD = ∠CAD (cùng nằm trên cung CM) và ∠CIM = ∠CAM (cùng nằm trên cung CM).
- Vì ∠CAD = ∠CAM nên ∠CMD = ∠CIM.
- Vậy, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD (I) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM (I') cùng nằm trên cùng một cung CM.
- Do đó, I và I' là hai điểm đối xứng qua đường thẳng CM.
- Vì I' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM nên I'I vuông góc với CM và I'I = I'M = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM).
- Vậy, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD (I) cũng nằm trên đường thẳng vuông góc với CM tại M và cách M một khoảng bằng R.