Cho tam giác ABC có góc B < góc C

Để tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, ta sử dụng định lý cosin:

Công thức định lý cosin: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

Trong đó:
- a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC
- C là góc tại đỉnh C

Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC, ta có:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos(ACB)
AC^2 = 5^2 + 12^2 - 2*5*12*cos(ACB)
AC^2 = 25 + 144 - 120*cos(ACB)
AC^2 = 169 - 120*cos(ACB)

BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2*BD*CD*cos(BDC)
BC^2 = 15^2 + 12^2 - 2*15*12*cos(BDC)
BC^2 = 225 + 144 - 360*cos(BDC)
BC^2 = 369 - 360*cos(BDC)

Vì góc B < góc C, nên góc BDC > góc ACB. Do đó, cos(BDC) < cos(ACB).

Vậy ta có:
AC^2 > BC^2

Từ đó suy ra:
169 - 120*cos(ACB) > 369 - 360*cos(BDC)
-120*cos(ACB) > -200 - 360*cos(BDC)
cos(ACB) < cos(BDC)

Vì cos(ACB) < cos(BDC), nên góc ACB > góc BDC. Từ đó suy ra góc ACB > góc B.

Vậy ta có:
góc B < góc C < góc ACB

Do đó, tam giác ABC là tam giác nhọn.

Tiếp theo, ta sử dụng định lý sine để tính độ dài cạnh còn lại:

Công thức định lý sine: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Áp dụng định lý sine vào tam giác ABC, ta có:

AB/sin(ACB) = BC/sin(ABC)
AB/sin(ACB) = BC/sin(B)
AB/sin(ACB) = BC/sin(B)
AB/sin(ACB) = BC/sin(B)
AB/sin(ACB) = BC/sin(B)

Từ đó suy ra:
AB/BC = sin(ACB)/sin(B)

Vì AB = 5, BC = 12, sin(ACB) = sin(B), nên ta có:
5/12 = sin(ACB)/sin(B)

Từ đó suy ra:
sin(ACB) = (5/12)*sin(B)

Vì sin(ACB) > 0 và 0 < (5/12)*sin(B) < 1, nên ta có:
0 < sin(B) < 1

Do đó, góc B là góc nhọn.

Tóm lại, tam giác ABC là tam giác nhọn, có góc B < góc C.

Độ dài các cạnh của tam giác ABC là:
AB = 5
BC = 12
AC = √(169 - 120*cos(ACB))