Cho tam giác ABC (AB bé hơn AC), I là trung điểm của BC, trên tia đối tia IA lấy D sao cho ID = IA

a) Ta có ID = IA (theo đề bài), và AI = AI (cạnh chung), nên tam giác IAD và IAI là hai tam giác cân cân nhau. Do đó, ta có ID = IA = AI.

Vì I là trung điểm của BC, nên ta có IB = IC.

Từ đó, ta có:
∠IAB = ∠IAI (cùng nằm trên cùng một cạnh AI)
∠IAB = ∠IAD (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)
∠IAD = ∠IDC (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)
∠IAB = ∠IDC

Vậy tam giác IAB = tam giác IDC (cùng có hai góc bằng nhau), và AB // DC (cùng là cạnh của hai tam giác đó).

b) Ta có HE = HA (theo đề bài), và AH = AH (cạnh chung), nên tam giác HEA và HAH là hai tam giác cân cân nhau. Do đó, ta có HE = HA = AH.

Vì AH vuông góc BC tại H, nên ∠BAH = ∠CAH (cùng là góc vuông).

Từ đó, ta có:
∠BAH = ∠CAH
∠BAH = ∠CAH = ∠HAE (cùng là góc vuông)
∠HAE = ∠HEA (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)
∠HAE = ∠HEA = ∠HBE (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)

Vậy tam giác HAE = tam giác HBE (cùng có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có BE = AE (cùng là cạnh của hai tam giác đó).

Vì AB = CD (theo phần a), nên ta có AE = AB = CD.

Vậy BE = CD.

c) Ta có MN = MD (theo đề bài), và MD = MD (cạnh chung), nên tam giác MND và MMD là hai tam giác cân cân nhau. Do đó, ta có MN = MD = MM.

Vì M là trung điểm của AC, nên ta có AM = MC.

Từ đó, ta có:
∠MAN = ∠MCN (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)
∠MAN = ∠MCN = ∠MNC (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)
∠MAN = ∠MCN = ∠MNC = ∠MNM (cùng là góc đỉnh của hai tam giác cân)

Vậy tam giác MAN = tam giác MNM (cùng có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có A, B, N thẳng hàng (cùng nằm trên cùng một đường thẳng).