Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác và tia phân giác góc.

1. Chứng minh tam giác BAE cân:
Ta có góc BAE là góc phân giác của góc ABC nên góc BAE = góc CAE.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc CAE = góc C.
Do đó, góc BAE = góc C.
Vậy tam giác BAE cân.

2. Chứng minh DF = DC:
Ta có tam giác BAE cân nên góc BAF = góc EAF.
Vì góc BAF là góc phân giác của góc ABC nên góc BAF = góc BAC/2.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Do đó, góc BAF = 45 độ.
Vì góc EAF = góc BAF nên góc EAF = 45 độ.
Vì tam giác ADE vuông tại D nên góc ADE = 90 độ - góc EAF = 90 độ - 45 độ = 45 độ.
Vậy tam giác ADE cân.
Do đó, AD = AE.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AC là đường cao của tam giác ABC.
Vậy, AD cũng là đường cao của tam giác ABC.
Vì vậy, AD = AC.
Vì tam giác ADE cân nên DE là đường phân giác của góc A.
Vậy, góc EDC = góc EDA/2 = 45 độ/2 = 22.5 độ.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Vậy, góc BDC = góc BAC - góc EDC = 90 độ - 22.5 độ = 67.5 độ.
Vì tam giác BDC vuông tại D nên góc BCD = 90 độ - góc BDC = 90 độ - 67.5 độ = 22.5 độ.
Vậy, góc BCD = góc EDC.
Vì tam giác BCD cân nên BC = BD.
Vậy, DF = DC.

3. Chứng minh K, H, I thẳng hàng:
Ta có DK = DF (theo đề bài).
Vì tam giác BDC cân nên góc BCD = góc BDC.
Vì tam giác BCD cân nên góc BDC = góc BCD.
Vậy, góc BCD = góc BDC.
Vì tam giác BCD cân nên góc BCD = góc BDC = góc BAC/2.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Vậy, góc BCD = góc BDC = 45 độ.
Vì tam giác BCD cân nên góc BHC = 2 * góc BCD = 2 * 45 độ = 90 độ.
Vậy, góc BHC = 90 độ.
Vì tam giác BHC vuông tại H nên góc BCH = 90 độ - góc BHC = 90 độ - 90 độ = 0 độ.
Vậy, góc BCH = 0 độ.
Vì vậy, BC là đường thẳng.
Vì tam giác BCD cân nên góc BCD = góc BDC.
Vậy, góc BCD = góc BDC = 45 độ.
Vì tam giác BCD cân nên góc BCD = góc BDC = góc BAC/2.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
Vậy, góc BCD = góc BDC = 45 độ.
Vì tam giác BCD cân nên góc BHD = 2 * góc BCD = 2 * 45 độ = 90 độ.
Vậy, góc BHD = 90 độ.
Vì tam giác BHD vuông tại H nên góc BDH = 90 độ - góc BHD = 90 độ - 90 độ = 0 độ.
Vậy, góc BDH = 0 độ.
Vì vậy, BD là đường thẳng.
Vậy, K, H, I thẳng hàng.