a) Ta có M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc MAC = 90° - góc CBA.
Tương tự, góc MBK = 90° - góc CBK.
Vì góc CBA = góc CBK (cùng là góc vuông), nên góc MAC = góc MBK.
Do đó, tam giác MBK = tam giác MAC.

b) Ta có M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc MAC = 90° - góc CBA.
Tương tự, góc MKC = 90° - góc KCB.
Vì góc CBA = góc KCB (cùng là góc vuông), nên góc MAC = góc MKC.
Do đó, tam giác MKC = tam giác MAC.
Từ đó, ta có góc KMC = góc MCA.
Vì góc KMC = góc MCA và góc MAC = góc MBK (đã chứng minh ở câu a), nên tam giác MBK = tam giác MCA.
Do đó, góc BKM = góc CMA.
Vì góc BKM = góc CMA và góc MAC = góc MBK (đã chứng minh ở câu a), nên tam giác MBK = tam giác MAC = tam giác MCA.
Từ đó, ta có góc BKM = góc CMA = góc MCA.
Vậy AK // BC.

c) Ta có góc BAC = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A) và góc BCA = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A).
Vì góc BAC = góc BCA = 90°, nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Do đó, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vậy AM cắt BC tại N sao cho BN = NC.
Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vậy AN = NC.
Từ đó, ta có AN = NC và BN = NC, nên tam giác ANC là tam giác đều.
Vì tam giác ANC là tam giác đều, nên góc ANC = 60°.
Vì góc ANC = 60° và góc BAC = 90°, nên góc BAN = 90° - 60° = 30°.
Tương tự, góc BCA = 90° và góc BAC = 90°, nên góc BCA = góc BAC = 90°.
Vậy tam giác BCA là tam giác vuông cân tại A.
Do đó, góc BAC = góc BCA = 90°.
Vì góc BAC = 90° và góc BAN = 30°, nên góc CAN = 90° - 30° = 60°.
Vì góc CAN = 60° và góc ANC = 60°, nên tam giác ANC là tam giác đều.
Vì tam giác ANC là tam giác đều, nên AN = NC.
Từ đó, ta có AN = NC và BN = NC, nên tam giác BAN = tam giác BNC.
Vì tam giác BAN = tam giác BNC và góc BAN = góc BNC (cùng là góc vuông), nên tam giác BAN = tam giác BNC là tam giác vuông cân tại N.
Vậy BN = NC = NA.
Vì BN = NA và AK // BC (đã chứng minh ở câu b), nên tam giác BNA = tam giác BKC (cùng là tam giác vuông cân tại N).
Vì tam giác BNA = tam giác BKC và góc BNA = góc BKC (cùng là góc vuông), nên tam giác BNA = tam giác BKC là tam giác vuông cân.
Từ đó, ta có góc BAN = góc BKC.
Vì góc BAN = góc BKC và góc BAC = góc BCA = 90°, nên tam giác BAN = tam giác BKC = tam giác BAC = tam giác BCA.
Vậy AI = BD.