Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Đường thẳng DI cắt EF tại N. Chứng minh đường thẳng AN đi qua trung điểm BC

Để chứng minh đường thẳng AN đi qua trung điểm BC, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác DEF và đường thẳng DI, ta có:
$\frac{EN}{NF} \cdot \frac{FD}{DI} \cdot \frac{DI}{IE} = 1$

Vì $DI$ là đường cao của tam giác DEF, nên $\frac{FD}{DI} = \frac{FD}{ID} = \frac{CD}{BD}$ (1)

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AN, ta có:
$\frac{BN}{NC} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{AE}{FB} = 1$

Vì $AE$ và $FB$ là tiếp tuyến của đường tròn (I), nên $\frac{CA}{AE} = \frac{CD}{DE}$ và $\frac{AE}{FB} = \frac{DE}{DF}$ (2)

Kết hợp (1) và (2), ta có:
$\frac{BN}{NC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{DE}{DF} = 1$

Simplifying, we get:
$\frac{BN}{NC} = \frac{DF}{CD}$

Vì $DF = EN$ (vì $DFEN$ là tứ giác nội tiếp), nên ta có:
$\frac{BN}{NC} = \frac{EN}{CD}$

Do đó, theo định lí Menelaus, ta có $AN$ đi qua trung điểm $BC$.