Cho tam giác ABC vuông tại A tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D kẻ BE vuông tại B. Gọi m là gia điểm của AE và BD . Chứng minh CM là một đường trung tuyến của tam giác AE. Kẻ AK vuông BC, AK cắt BD tại H..

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Tia phân giác của một góc chia nó thành hai góc bằng nhau.
2. Trong một tam giác vuông, đường cao chính là đường trung tuyến của tam giác vuông còn lại.
3. Trong một tam giác vuông, đường phân giác góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài bằng nhau.
4. Trong một tam giác vuông, đường phân giác góc vuông vuông góc với cạnh huyền.
5. Trong một tam giác vuông, đường phân giác góc vuông đi qua trung điểm của cạnh góc vuông.

a) Ta có tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH chính là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MC.
b) Ta có AK vuông góc với BC, nên AK là đường cao của tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH chính là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AH = HC.
c) Ta có N là trung điểm của CE, nên ta có CN = NE. G là điểm trên đoạn thẳng CM sao cho GM = 1/2 GC. Vì GM = 1/2 GC, nên ta có CM = 2GM. Khi đó, ta có CM = MG + GC = GM + GM + GC = 2GM + GC = 3GM. Do đó, ta có GM = 1/3 CM. Vậy ta có GM = 1/3 CM = 1/2 GC. Từ đó, ta suy ra G là trung điểm của CM.
d) Ta có A, G, N thẳng hàng. Vì G là trung điểm của CM, N là trung điểm của CE, nên theo định lí 5, ta có AG // CN.