a) Để chứng minh năm điểm A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ chứng minh rằng góc MON bằng góc MIN.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng ON.

Vì AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc MAB bằng góc NAC (góc tiếp tuyến).

Mà góc MAB bằng góc PAC (góc nội tiếp cùng nhìn), và góc NAC bằng góc PBA (góc nội tiếp cùng nhìn).

Vậy ta có: góc PAC bằng góc PBA.

Như vậy, ta có hai góc cùng bằng nhau nằm ở hai đường cùng song song PA và BA. Do đó, ta có được tứ giác PBCA là tứ giác cùng tứ diện.

Khi đó, ta có góc MNP bằng góc MCA (góc nội tiếp cùng nhìn), và góc MCA bằng góc MON (góc nội tiếp cùng nhìn).

Vậy góc MON bằng góc MNP, từ đó suy ra năm điểm A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh AM = AB.AC, ta sẽ sử dụng định lý tiếp tuyến.

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên góc OAM bằng góc MAB (góc tiếp tuyến).

Mà góc MAB bằng góc NAC (góc tiếp tuyến), và góc NAC bằng góc ACO (góc nội tiếp cùng nhìn).

Vậy ta có: góc OAM bằng góc ACO.

Như vậy, ta có góc OAM bằng góc ACO, từ đó suy ra tam giác OAM đồng dạng với tam giác OCA theo góc.

Do đó, ta có tỉ số các cạnh của hai tam giác này bằng nhau:

AM/AC = OA/OC.

Vì OA = OC (vì O là tâm đường tròn), nên ta có AM = AC.

Tương tự, ta có AM = AB.

Vậy ta suy ra AM = AB.AC.

c) Để chứng minh IE // MC, ta sẽ sử dụng định lý góc nội tiếp.

Vì AB // MC (do song song), và góc BAC bằng góc ACB (góc nội tiếp cùng nhìn).

Vậy ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác AMC theo góc.

Do đó, ta có tỉ số các cạnh của hai tam giác này bằng nhau:

AB/AC = AM/AN.

Vì AM = AB (vừa chứng minh ở bước b), nên ta có:

AB/AC = AB/AN.

Từ đó suy ra AC = AN.

Vậy ta suy ra IE // MC.

d) Để chứng minh khi d thay đổi quay quanh điểm A thì trọng tâm G của AMBC luôn nằm trên một đường tròn cố định, ta sẽ sử dụng định lý trọng tâm.

Gọi G là trọng tâm của tam giác AMB.

Theo định lý trọng tâm, ta có

Theo định lý trọng tâm, trọng tâm của một tam giác là điểm giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trong trường hợp này, G là trọng tâm của tam giác AMB.

Ta đã chứng minh ở câu b) rằng AM = AB.AC. Từ đó, ta có thể suy ra rằng G là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Khi d thay đổi quay quanh điểm A, tam giác AMB cũng thay đổi theo đó. Tuy nhiên, vì G là trung điểm của đoạn thẳng AM, nên vị trí của G cũng thay đổi theo đó.

Vậy, khi d thay đổi quay quanh điểm A, trọng tâm G của tam giác AMB luôn nằm trên một đường tròn cố định.