a) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = √x - 1/9√x, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số √x và 1/9√x, ta có:

(√x + 1/9√x)/2 ≥ √x * 1/9√x

Simplifying the expression, we get:

(9√x + √x)/18 ≥ 1

10√x/18 ≥ 1

√x ≥ 9/10

x ≥ (9/10)^2

x ≥ 81/100

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là khi x = 81/100, và giá trị lớn nhất của A là √(81/100) - 1/9 * √(81/100) = 9/10 - 1/9 * 9/10 = 9/10 - 1/10 = 4/5.

b) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A khi x → ∞, ta sẽ xét giới hạn của biểu thức A khi x tiến đến vô cùng.

Khi x tiến đến vô cùng, ta có:

A = √x - 1/9√x

Khi x tiến đến vô cùng, giá trị của √x cũng tiến đến vô cùng. Do đó, ta có:

lim(x→∞) √x = ∞

lim(x→∞) 1/9√x = 0

Vậy, khi x tiến đến vô cùng, biểu thức A cũng tiến đến vô cùng. Không có giới hạn cố định cho A khi x tiến đến vô cùng.