a. Ta có OH vuông góc với d và OB vuông góc với AB nên OH // AB. Tương tự, OH // AC. Do đó, ta có OBAC là tứ giác nội tiếp.

b. Ta có OBAC là tứ giác nội tiếp nên góc BAC = góc BOC. Từ đó, ta có góc BOC = góc BAC = góc BAI = góc OAI. Do đó, tam giác OAI cân tại O. Từ đó, ta có OA = OI.

Vì OBAC là tứ giác nội tiếp nên góc BOC = 180° - góc BAC = 180° - góc BAI = góc OAI. Từ đó, ta có góc BOC = góc OAI. Do đó, tam giác OBC đồng dạng với tam giác OAI.

Áp dụng định lý đồng dạng, ta có:
OM/OA = OB/OI
ON/OH = OC/OI

Vì tam giác OBC đồng dạng với tam giác OAI nên OB/OI = OC/OI. Từ đó, ta có OM/OA = ON/OH.

c. Ta có OM/OA = ON/OH. Từ đó, ta có OM/OA = ON/OH = MN/AH. Do đó, ta có tam giác OMN đồng dạng với tam giác OHA.

Vì tam giác OMN đồng dạng với tam giác OHA nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHA. Từ đó, ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHA.

d. Để diện tích tam giác OMN có giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm A trên đường thẳng d sao cho đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm I sao cho OM = ON.

Vì OM/OA = ON/OH, ta có OM = ON khi và chỉ khi OA = OH. Do đó, để diện tích tam giác OMN có giá trị lớn nhất, điểm A cần nằm trên đường thẳng d sao cho OA = OH.