Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lí về trung điểm và tỷ lệ của các đoạn thẳng trong tam giác.

a) Để tính diện tích tam giác ABC, ta sẽ tính độ dài các cạnh AB và AC.

Vì M là trung điểm của AB, ta có AM = MB = 1/2 AB.
Vì N là trung điểm của AC, ta có AN = NC = 1/2 AC.

Vì MC = 18 cm và MC bằng 150% chiều cao hạ từ A xuống cạnh MC, ta có:
MC = 1.5 h
18 = 1.5 h
h = 12 cm

Vì AM = MB và AN = NC, ta có:
AB = AM + MB = 2 AM = 2 * 1/2 AB = AB
AC = AN + NC = 2 AN = 2 * 1/2 AC = AC

Vậy, AB = AC.

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Để tính diện tích tam giác ABC, ta sẽ tính diện tích tam giác MBC và nhân kết quả với 3.

Vì tam giác ABC là tam giác đều, ta có:
MB = MC = BC = 18 cm

Vì tam giác MBC là tam giác vuông tại M, ta có:
Diện tích tam giác MBC = 1/2 * MB * MC = 1/2 * 18 * 18 = 162 cm^2

Vậy, diện tích tam giác ABC = 3 * diện tích tam giác MBC = 3 * 162 = 486 cm^2.

b) Để tính diện tích tam giác MIB, ta sẽ tính độ dài các cạnh MI và IB.

Vì M là trung điểm của AB, ta có AM = MB = 1/2 AB.
Vì N là trung điểm của AC, ta có AN = NC = 1/2 AC.

Vì tam giác ABC là tam giác đều, ta có AB = AC.

Vậy, AM = MB = AN = NC = 1/2 AB = 1/2 AC.

Vì tam giác MIB là tam giác vuông tại M, ta có:
IB = 2 * MI

Vì tam giác ABC là tam giác đều, ta có:
AB = AC = BC

Vậy, MB = MC = BC = AB = AC = BC.

Vì tam giác MBC là tam giác vuông tại M, ta có:
MB^2 + MC^2 = BC^2
(1/2 AB)^2 + (1/2 AC)^2 = BC^2
(1/2 AB)^2 + (1/2 AB)^2 = BC^2
1/4 AB^2 + 1/4 AB^2 = BC^2
1/2 AB^2 = BC^2
AB^2 = 2 BC^2

Vậy, AB = √(2 BC^2)

Vì tam giác ABC là tam giác đều, ta có:
AB = AC = BC

Vậy, AB = √(2 AB^2)

Giải phương trình trên, ta được:
AB^2 = 2 AB^2
AB^2 = 0
AB = 0

Vì AB không thể bằng 0, ta kết luận rằng phương trình trên không có nghiệm.

Vậy, không thể tính diện tích tam giác MIB.