Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, ba đường cao AD BE CF cắt nhau tại H

a) Ta có:
- Gọi H' là hình chiếu của H lên BC.
- Khi đó, ta có: AH' ⊥ BC và HH' ⊥ BC.
- Vì AD ⊥ BC nên AD // HH'.
- Tương tự, ta có: BE // HH' và CF // HH'.
- Do đó, ta có tứ giác AHH'B, BHH'C và CHH'A là tứ giác tứ giác tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lí Ptolemy cho các tứ giác nội tiếp trên, ta có:
+ Trong tứ giác AHH'B: AH'.HB + HH'.AB = BH'.HA
+ Trong tứ giác BHH'C: BH'.HC + HH'.BC = CH'.HB
+ Trong tứ giác CHH'A: CH'.HA + HH'.AC = AH'.HC
- Nhân cả hai vế của cả ba phương trình trên với nhau, ta có:
+ (AH'.HB + HH'.AB)(BH'.HC + HH'.BC)(CH'.HA + HH'.AC) = (BH'.HA)(CH'.HB)(AH'.HC)
- Từ đó suy ra: (AH'.HB)(BH'.HC)(CH'.HA) = (BH'.HA)(CH'.HB)(AH'.HC)
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho (BH'.HA)(CH'.HB)(AH'.HC), ta được:
+ (AH'.HB)/(BH'.HA) = (BH'.HC)/(CH'.HB) = (CH'.HA)/(AH'.HC)
- Từ đó suy ra: AD.BC = BE.AC = CF.AB

b) Ta có:
- Gọi H' là hình chiếu của H lên BC.
- Khi đó, ta có: AH' ⊥ BC và HH' ⊥ BC.
- Vì AD ⊥ BC nên AD // HH'.
- Tương tự, ta có: BE // HH' và CF // HH'.
- Do đó, ta có tứ giác AHH'B, BHH'C và CHH'A là tứ giác tứ giác tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lí Ptolemy cho các tứ giác nội tiếp trên, ta có:
+ Trong tứ giác AHH'B: AH'.HB + HH'.AB = BH'.HA
+ Trong tứ giác BHH'C: BH'.HC + HH'.BC = CH'.HB
+ Trong tứ giác CHH'A: CH'.HA + HH'.AC = AH'.HC
- Nhân cả hai vế của cả ba phương trình trên với nhau, ta có:
+ (AH'.HB + HH'.AB)(BH'.HC + HH'.BC)(CH'.HA + HH'.AC) = (BH'.HA)(CH'.HB)(AH'.HC)
- Từ đó suy ra: (AH'.HB)(BH'.HC)(CH'.HA) = (BH'.HA)(CH'.HB)(AH'.HC)
- Chia cả hai vế của phương trình trên cho (BH'.HA)(CH'.HB)(AH'.HC), ta được:
+ (AH'.HB)/(BH'.HA) = (BH'.HC)/(CH'.HB) = (CH'.HA)/(AH'.HC)
- Từ đó suy ra: AD.HD = DB.DC

c) Ta có:
- Gọi H' là hình chiếu của H lên BC.
- Khi đó, ta có: AH' ⊥ BC và HH' ⊥ BC.
- Vì AD ⊥ BC nên AD // HH'.
- Tương tự, ta có: BE // HH' và CF // HH'.
- Do đó, ta có tứ giác AHH'B, BHH'C và CHH'A là tứ giác tứ giác tứ giác nội tiếp.
- Ta có: ∠ABH = ∠EDH (cùng là góc giữa hai đường thẳng AB và ED với đường thẳng BC)
- Vì AH' ⊥ BC và EH' ⊥ BC nên ∠AH'B = ∠EH'B (cùng là góc giữa hai đường thẳng AH' và EH' với đường thẳng BC)
- Tương tự, ta có: ∠BCH = ∠DCH (cùng là góc giữa hai đường thẳng BC và DC với đường thẳng AB)
- Vì ∠ABH = ∠EDH và ∠AH'B = ∠EH'B nên tam giác ABH đồng dạng với tam giác EDH (theo góc - góc - góc)
- Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác EDH.