Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, H thuộc BC gọi D và E lần lượt là hình chiếu của h trên AB AC

Để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất, ta cần tìm điều kiện để tam giác AMN là tam giác đều.

Gọi x là khoảng cách từ A đến BC. Ta có:

Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * AH * BC = 1/2 * x * BC

Diện tích tam giác AMN = 1/4 * AH * BC = 1/4 * x * BC

Vì diện tích tam giác AMN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác AMN là tam giác đều, nên ta cần tìm điều kiện để tam giác ABC là tam giác đều.

Điều kiện để tam giác ABC là tam giác đều là AB = AC.

Vậy, điều kiện để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất là AB = AC.