Cho nửa đường tròn đường kính BC, bán kính R; trên nửa đường tròn lấy hai điểm D và E (E nằm giữa B và D)

a) Ta có:
- Góc ADB = Góc AEB (cùng chắn cung AD và AE trên nửa đường tròn)
- Góc ABD = Góc AED (cùng chắn cung AD và AE trên nửa đường tròn)
- Góc ADB + Góc ABD = 180° (tổng các góc trong tam giác ABD)
Do đó, tam giác ABD và tam giác AED đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Từ đó, ta có: AE/AD = AD/AE (theo định lý đồng dạng tam giác)
=> AE.AD = AD.AE
=> AE.AB = AD.AC (vì AB = AC)

Đồng thời, ta có:
- Góc AHD = Góc AED (cùng chắn cung AD và AE trên nửa đường tròn)
- Góc ADH = Góc ABE (cùng chắn cung AD và AE trên nửa đường tròn)
- Góc AHD + Góc ADH = 180° (tổng các góc trong tam giác ADH)
Do đó, tam giác ADH và tam giác ABE đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Từ đó, ta có: Góc AED = Góc ADH
=> Góc AED + Góc ADH = 180°
=> Góc AEH = 180° - Góc AED - Góc ADH = Góc AHD
=> Tứ giác AEHD nội tiếp.

b) Ta có:
- Góc BHD = Góc BEC (cùng chắn cung BD và BE trên nửa đường tròn)
- Góc BHD' = Góc BEC (cùng chắn cung BD' và BE trên nửa đường tròn)
Do đó, góc BHD = góc BHD'
=> Tứ giác ABH'C nội tiếp.

c) Ta có:
- Góc BAC = Góc BHC (cùng chắn cung BC trên nửa đường tròn)
- Góc BAC = Góc BH'C (cùng chắn cung BC trên nửa đường tròn)
Do đó, góc BHC = góc BH'C
=> Góc BAC = Góc BHC = Góc BH'C (vì BH' = BH)
=> Góc BAC = Góc BH'C
=> Tứ giác ABH'C nội tiếp
=> Góc BAC = Góc BH'C = Góc ABH' (vì ABH'C là tứ giác nội tiếp)
=> Góc BAC = Góc ABH'