Để phương trình (*) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x12 + 2(k+1)x2 < 3k2 + 16, ta cần thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Phương trình (*) có hai nghiệm thực và phân biệt. Điều này có nghĩa là delta (Δ) của phương trình (*) phải lớn hơn 0.

2. Điều kiện x12 + 2(k+1)x2 < 3k2 + 16.

Bây giờ ta sẽ giải từng điều kiện trên:

1. Delta (Δ) của phương trình (*) là: Δ = (-2(k+1))2 - 4(1)(k2 + 4) = 4k2 + 8k + 4 - 4k2 - 16 = 8k - 12.

Để Δ > 0, ta có: 8k - 12 > 0 => 8k > 12 => k > 12/8 => k > 3/2.

Vậy điều kiện thứ nhất là k > 3/2.

2. Ta có x12 + 2(k+1)x2 < 3k2 + 16.

Đặt f(x) = x12 + 2(k+1)x2 - 3k2 - 16.

Để f(x) < 0, ta cần tìm khoảng giá trị của x mà f(x) < 0.

Đặt h(x) = x12 + 2(k+1)x2 - 3k2 - 16 = 0.

Để tìm khoảng giá trị của x mà h(x) < 0, ta cần tìm các điểm cực trị của h(x).

Đạo hàm của h(x) theo x là: h'(x) = 2x - 2(k+1).

Điểm cực trị của h(x) xảy ra khi h'(x) = 0.

Ta có: 2x - 2(k+1) = 0 => x = k + 1.

Để xác định điểm cực trị, ta cần xem dấu của h''(x) = 2.

Vì h''(x) > 0, nên điểm cực trị là điểm cực tiểu.

Ta có h(k+1) = (k+1)2 + 2(k+1)(k+1) - 3k2 - 16 = k2 + 2k + 1 + 2k2 + 4k + 2 - 3k2 - 16 = 3k2 + 6k - 13.

Để h(k+1) < 0, ta cần 3k2 + 6k - 13 < 0.

Đặt g(k) = 3k2 + 6k - 13.

Để tìm khoảng giá trị của k mà g(k) < 0, ta cần tìm các điểm cực trị của g(k).

Đạo hàm của g(k) theo k là: g'(k) = 6k + 6.

Điểm cực trị của g(k) xảy ra khi g'(k) = 0.

Ta có: 6k + 6 = 0 => k = -1.

Để xác định điểm cực trị, ta cần xem dấu của g''(k) = 6.

Vì g''(k) > 0, nên điểm cực trị là điểm cực tiểu.

Ta có g(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) - 13 = 3 - 6 - 13 = -16.

Vậy để g(k) < 0, ta cần -1 < k < +∞.

Tổng kết lại, để phương trình (*) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x12 + 2(k+1)x2 < 3k2 + 16, ta cần thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. k > 3/2.

2. -1 < k < +∞.

Vậy k thỏa mãn là k > 3/2.