Để tìm mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với (S), ta cần tìm điểm tiếp xúc giữa (Q) và (S).

Đầu tiên, ta xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có:
(P): x + 2y + 2z + 2 = 0
=> Vector pháp tuyến của (P) là (1, 2, 2).

Tiếp theo, ta cần tìm điểm tiếp xúc giữa (Q) và (S). Điểm này nằm trên cả (Q) và (S), nên ta có hệ phương trình sau:
(Q): ax + by + cz + d = 0
(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z - 2 = 0

Để (Q) tiếp xúc với (S), ta cần giải hệ phương trình sau:
ax + by + cz + d = 0
x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z - 2 = 0

Điều kiện tiếp xúc là phương trình trên có nghiệm kép. Ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt delta bằng 0.

Đặt:
f(x, y, z) = ax + by + cz + d
g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z - 2

Ta có:
f_x = a
f_y = b
f_z = c
g_x = 2x
g_y = 2y - 2
g_z = 2z - 2

Hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0:
a + 2xλ = 0
b + (2y - 2)λ = 0
c + (2z - 2)λ = 0

Từ hệ phương trình trên, ta có:
x = -a/(2λ)
y = (bλ + 1)/2
z = (cλ + 1)/2

Thay vào phương trình g(x, y, z), ta có:
(-a/(2λ))^2 + ((bλ + 1)/2)^2 + ((cλ + 1)/2)^2 - 2((bλ + 1)/2) - 2((cλ + 1)/2) - 2 = 0

Simplifying the equation above, we get:
a^2/(4λ^2) + (bλ + 1)^2/4 + (cλ + 1)^2/4 - (bλ + 1) - (cλ + 1) - 2 = 0

Đặt:
A = a^2/4
B = b^2/4
C = c^2/4
D = -a/2 - b/2 - c/2 - 2

Ta có phương trình sau:
A/λ^2 + Bλ^2 + Cλ^2 + D = 0

Đây là một phương trình bậc hai với biến là λ. Để phương trình có nghiệm kép, ta cần delta bằng 0:
Δ = B^2 - 4AC = 0

Thay A, B, C vào, ta có:
(b^2/4)^2 - 4(a^2/4)(c^2/4) = 0
b^4/16 - a^2c^2/4 = 0
b^4 - 4a^2c^2 = 0

Từ phương trình trên, ta có một mối quan hệ giữa a, b và c. Điều này chỉ ra rằng vector pháp tuyến của mặt phẳng (Q) cũng phải thỏa mãn mối quan hệ này.

Vậy, mặt phẳng (Q) có phương trình là:
bx + by + cz + d = 0
với điều kiện b^4 - 4a^2c^2 = 0.