Cho lăng trụ ABCA'B'C. H là trung điểm của B'C'. AH vuông góc với (A'B'C'). Tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa AA' và đáy băng 60°

a) Ta có AH là đường cao của tam giác A'B'C', với A'B' = a. Vì tam giác ABC đều nên A'B' = AB = AC = a. Do đó, tam giác A'B'C' cũng là tam giác đều. Khi đó, AH = A'H = B'H = C'H = a/2.

b) Góc giữa AA' và đáy băng là 60°, nên góc giữa AA' và mặt đáy ABC là 180° - 60° = 120°. Góc nhị diện [A, A'B', C'] là góc giữa mặt đáy ABC và mặt phẳng (A'B'C'). Vì tam giác A'B'C' là tam giác đều, nên góc nhị diện [A, A'B', C'] = 120°.

c) Góc nhị diện [B, B'C', A'] là góc giữa mặt đáy A'B'C' và mặt phẳng (B'C'A'). Ta có B'C' vuông góc với A'B', nên góc giữa mặt đáy A'B'C' và mặt phẳng (B'C'A') chính là góc giữa mặt đáy A'B'C' và mặt phẳng (A'B'C'). Vì tam giác A'B'C' là tam giác đều, nên góc nhị diện [B, B'C', A'] = 120°.

d) Thể tích của lăng trụ ABCA'B'C' là tổng thể tích của hình trụ ABC và hình trụ A'B'C'. Với tam giác ABC đều, ta có thể tính thể tích hình trụ ABC bằng công thức V = πr^2h, với r là bán kính đáy và h là chiều cao. Vì tam giác ABC đều nên r = AB/2 = a/2 và h = AH = a/2. Do đó, thể tích hình trụ ABC là V1 = π(a/2)^2(a/2) = πa^3/8.

Tương tự, với tam giác A'B'C' đều, ta có r = A'B'/2 = a/2 và h = AH = a/2. Do đó, thể tích hình trụ A'B'C' là V2 = π(a/2)^2(a/2) = πa^3/8.

Vậy, thể tích của lăng trụ ABCA'B'C' là V = V1 + V2 = πa^3/8 + πa^3/8 = πa^3/4.