Cho tam giác mnp có mp=2mn, kẻ phân giác mh của tam giác mnp. Lấy k thuộc mp sao cho mk=mn..

a) Ta có mp = 2mn và mk = mn. Vì mp = 2mn nên mp > mk. Vì mk = mn nên mk = mn. Vậy ta có mk < mp và mk = mn. Do đó, theo định lý phân giác, ta có tam giác mnh = mkh.

b) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng HP. Ta cần chứng minh tam giác HPQ cân.

Vì MN là tia phân giác của góc M, nên MQ = MN. Ta cũng có MK = MN (theo đề bài). Vậy MQ = MK.

Vì MP = 2MN, nên MP = 2MQ. Từ đó, ta có MP = 2MQ = MK.

Vậy tam giác HPQ có 2 cạnh bằng nhau, nên tam giác HPQ cân.

c) Ta có HP = HM + MP và HN = HM + MN.

Vì MP = 2MN, nên HP = HM + 2MN và HN = HM + MN.

Ta cần chứng minh HP - HN < MP - MN.

Thay giá trị của HP và HN vào, ta có HM + 2MN - HM - MN < MP - MN.

Simplifying, ta có MN < MP - MN.

Vì MP = 2MN, nên MN < 2MN - MN.

Simplifying, ta có MN < MN.

Điều này là đúng vì MN là một đoạn thẳng. Vậy ta có HP - HN < MP - MN.

d) Gọi E là giao điểm của tia đối của HM và đường thẳng PQ. Ta cần chứng minh rằng P, E, Q thẳng hàng.

Vì HE = 1/2MH, nên HE = 1/2(HM + MP) = 1/2(MN + MP) = 1/2(MN + 2MN) = 3/2MN.

Vì MQ = MN, nên MQ = MN.

Vậy ta có HE = 3/2MN = 3/2MQ.

Vì P, E, Q đều nằm trên đường thẳng PQ, nên ta có P, E, Q thẳng hàng.