a) Ta có tứ giác MAOB nội tiếp vì góc MOA và góc MOB đều là góc tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có:
- Từ tứ giác MAOB nội tiếp, ta có góc MAB = góc MOB và góc MBA = góc MAB = góc MOB.
- Từ tứ giác MAOB nội tiếp, ta có góc MOA = góc MBA và góc MOA = góc MAB = góc MOB.
- Do đó, hai tam giác MOA và MOB đồng dạng.
- Từ đồng dạng tam giác, ta có: AC/AD = MO/MB và BC/BD = MO/MA.
- Nhân hai phương trình trên, ta có: (AC/AD) * (BC/BD) = (MO/MB) * (MO/MA) = (MO^2)/(MA * MB).
- Vì MO^2 = MA * MB (do MO là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (M, MA)), nên (AC/AD) * (BC/BD) = 1.
- Từ đó, ta có AC * BC = AD * BD.

c) Khi OM = Rcăn2, ta có:
- Từ đồng dạng tam giác, ta có: CI/MC = AI/MA = BI/MB.
- Vì I là trung điểm AB, nên AI = BI.
- Do đó, CI/MC = 1.

- Đường thẳng IN cắt AP tại E. Để diện tích tam giác AOE lớn nhất, ta cần tìm vị trí của điểm N sao cho diện tích tam giác AOE lớn nhất.
- Diện tích tam giác AOE là S = (1/2) * AO * OE * sin(góc AOE).
- Vì AO = R và OE = ON - NE, ta có S = (1/2) * R * (ON - NE) * sin(góc AOE).
- Ta cần tìm giá trị của ON và NE sao cho S đạt giá trị lớn nhất.
- Góc AOE là góc giữa đường thẳng AO và đường thẳng OE, nên góc AOE = góc AOP.
- Để S đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm góc AOP sao cho sin(góc AOP) đạt giá trị lớn nhất.
- Vì góc AOP là góc giữa đường thẳng AP và đường thẳng OB, nên góc AOP = góc BOP.
- Đường thẳng OB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BOP = 90 độ.
- Vì sin(góc AOP) đạt giá trị lớn nhất khi góc AOP = 90 độ, nên ta cần tìm vị trí của điểm N sao cho góc AOP = 90 độ.
- Khi góc AOP = 90 độ, ta có góc AOE = 90 độ và tam giác AOE là tam giác vuông tại O.
- Vì tam giác vuông có diện tích lớn nhất khi cạnh huyền là đường kính, nên ta cần tìm vị trí của điểm N sao cho ON là đường kính của đường tròn (O).
- Vậy, để diện tích tam giác AOE lớn nhất, ta cần chọn điểm N sao cho ON là đường kính của đường tròn (O).