Để chứng minh tam giác ABM là tam giác cân, ta cần chứng minh BM = AM.

Gọi x = ∠BAC = ∠C, vậy ∠ABC = 2∠C = 2x.

Do BD = BC, ta có ∠BDC = ∠BCD = x.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với CD và AM.

Ta có ∠CED = 90° - x và ∠CDE = 90° - x.

Vì ∠CED = ∠CDE, nên tam giác CED là tam giác cân.

Vì BM // CD và CE là đường cao của tam giác CED, nên BM = ME.

Ta có ∠BME = ∠BMC + ∠CME = ∠BAC + ∠CED = x + (90° - x) = 90°.

Vậy tam giác ABM là tam giác cân.

Tiếp theo, ta cần chứng minh ∠ABC = 2∠AKC.

Gọi y = ∠AKC, vậy ∠AKM = 90° - y.

Ta có ∠ABC = 2x và ∠AKC = y, nên ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠AKC = 180° - 2x - y.

Vì ∠AKM = 90° - y, nên ∠AMK = 180° - (90° - y) - y = 90° + y.

Vì ∠BAC = 180° - 2x - y, nên ∠BAM = 180° - ∠BAC - ∠AMK = 180° - (180° - 2x - y) - (90° + y) = 2x - y.

Vì tam giác ABM là tam giác cân, nên ∠BAM = ∠ABM = 2x - y.

Vậy ∠ABC = 2∠AKC.

Vậy ta đã chứng minh được tam giác ABM là tam giác cân và ∠ABC = 2∠AKC.