Đầu tiên, ta biết rằng BH vuông góc AC khi và chỉ khi AB^2 = AH * AC (định lý đường cao trong tam giác vuông). Tương tự, CK vuông góc AB khi và chỉ khi AC^2 = AK * AB. Ta có AB = AC (theo đề bài), vì vậy AB^2 = AC^2. Để chứng minh BH = CK, ta sẽ so sánh AH * AC và AK * AB. Vì AB = AC, ta có AH * AC = AH * AB. Từ đó, ta có AB^2 = AH * AC = AK * AB. Do đó, AH = AK. Vì AH = AK, ta có BH = CK (vì BH = AB - AH và CK = AC - AK). Vậy ta đã chứng minh BH vuông góc AC, CK vuông góc AB và BH = CK.
...
Để chứng minh BH vuông góc AC và CK vuông góc AB, cũng như BH = CK, ta có thể sử dụng định lí Pythagoras và tính chất của tam giác vuông. Đầu tiên, vì AB = AC, ta có tam giác ABC là tam giác cân. Do đó, ta có góc BAC = góc BCA. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh BH vuông góc AC. Vì BH vuông góc AC, nên ta có góc BHC = 90 độ. Ta cũng có góc BAC = góc BCA, do tam giác ABC là tam giác cân. Vì vậy, ta có góc BHC = góc BAC + góc BCA = 90 độ + góc BCA. Tương tự, ta chứng minh CK vuông góc AB. Vì CK vuông góc AB, nên ta có góc CKB = 90 độ. Ta cũng có góc BAC = góc BCA, do tam giác ABC là tam giác cân. Vì vậy, ta có góc CKB = góc BAC + góc BCA = 90 độ + góc BCA. Vì BH vuông góc AC và CK vuông góc AB, nên ta có BH // CK. Do đó, ta có tam giác BHC và tam giác BKC là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung BC và các góc tương ứng bằng nhau). Vì vậy, ta có BH/BC = CK/BC, hay BH = CK. Vậy, ta đã chứng minh được BH vuông góc AC, CK vuông góc AB và BH = CK.