Cho tam giác ABC có AB=AC .Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh AM là phân giác góc A và AM vuông góc BC

Ta có AB = AC, nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Gọi I là giao điểm của đường phân giác góc A và đường thẳng BC.
Ta cần chứng minh AM vuông góc BC, tức là chứng minh tam giác AIM vuông tại M.

Ta có:
- Góc BAI = Góc IAC (do AI là đường phân giác góc A)
- Góc ABI = Góc IAC (do tam giác ABC là tam giác cân)
Vậy tam giác ABI và tam giác AIM có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Do đó, ta có:
AB/AM = AI/AB (theo định lí đồng dạng tam giác)
=> AB^2 = AM.AI
=> AM^2 = AB^2/AI = AB.AC/AI (do AB = AC)
=> AM^2 = AB.AC/AI
=> AM^2 = AB.AC/AI = BC.AC/AI (do tam giác ABC là tam giác cân)
=> AM^2 = BC.AC/AI
=> AM^2 = BC/AI.AC
=> AM^2 = BC/BI.AC (do I là giao điểm của đường phân giác góc A và đường thẳng BC)
=> AM^2 = BC/BI.AC = BC/BC.AC = 1/BI
=> AM^2 = 1/BI
=> AM^2 = MI^2
=> Tam giác AIM vuông tại M (theo định lí Pythagoras).

Vậy ta đã chứng minh được rằng AM là đường cao của tam giác AIM, hay AM vuông góc BC.