a, Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác HBD:
Ta có:
- Góc ABD là góc giữa hai cạnh AB và BD.
- Góc HBD là góc giữa hai cạnh HB và BD.
Vì BD là phân giác của góc ABC, nên góc ABD và góc HBD có cùng độ lớn.
- Cạnh AB = cạnh HB (cạnh chung của hai tam giác).
Vậy tam giác ABD bằng tam giác HBD (theo trường hợp SSS).

b, Gọi K là giao điểm của DH và AB. Chứng minh AK = HC:
Ta có:
- Góc ABD = góc HBD (vì tam giác ABD bằng tam giác HBD).
- Góc ADB = góc HDB (vì AD và HD là hai đường cao của tam giác ABD và tam giác HBD).
Vậy tam giác ADB bằng tam giác HDB (theo trường hợp SAS).
Do đó, ta có AK = HC (cạnh chung của hai tam giác).

c, Chứng minh BD là trung trực của KC:
Ta có:
- Góc KBD = góc KBC (vì BD là phân giác của góc ABC).
- Góc KDB = góc KDC (vì KD là đường cao của tam giác KBD và tam giác KDC).
Vậy tam giác KBD bằng tam giác KDC (theo trường hợp SAS).
Do đó, ta có BD là trung trực của KC (đường trung trực là đường vuông góc chia đôi một đoạn thẳng).

d, So sánh độ dài cạnh AD và DC:
Ta có:
- Góc ADB = góc HDB (vì tam giác ABD bằng tam giác HBD).
- Góc ADC = góc HDC (vì tam giác ACD và tam giác HCD có cùng đỉnh D và cùng góc vuông).
Vậy tam giác ADB và tam giác HDC có cùng hai góc bằng nhau.
Do đó, ta có AD = DC (theo trường hợp AAS).