1) Ta có a^2 - 2b^2 = 3(c^2 - 5d^2 - b^2)
=> a^2 + b^2 - 3c^2 + 15d^2 = 0
=> (a^2 + b^2) - 3(c^2 - 5d^2) = 0
=> (a^2 + b^2) - 3(c + d)(c - d) = 0
=> (a^2 + b^2) = 3(c + d)(c - d)

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố, ta sẽ chứng minh rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Nếu a + b + c + d là số nguyên tố, thì a + b + c + d không chia hết cho 2, 3, 5, 7, ...

Vì (a^2 + b^2) = 3(c + d)(c - d), nên a^2 + b^2 chia hết cho 3.

Nếu a^2 + b^2 chia hết cho 3, thì ít nhất một trong hai số a, b chia hết cho 3.

Nếu a chia hết cho 3, thì a^2 chia hết cho 9. Vì a^2 + b^2 chia hết cho 3, nên b^2 chia hết cho 9. Từ đó suy ra b chia hết cho 3.

Vậy a và b đều chia hết cho 3. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả sử a + b + c + d không chia hết cho 3.

Vậy giả sử ban đầu là sai. Do đó, a + b + c + d là hợp số.

2) Ta có M = (9a + 11b)(5b + 11a)
=> M = 99ab + 99a^2 + 55b^2 + 121ab
=> M = 220ab + 99(a^2 + b^2)

Vì M chia hết cho 19, nên 220ab + 99(a^2 + b^2) chia hết cho 19.

Vì 19 là số nguyên tố, nên 220ab chia hết cho 19 hoặc a^2 + b^2 chia hết cho 19.

Nếu 220ab chia hết cho 19, thì ab chia hết cho 19. Vì a và b là số nguyên dương, nên a chia hết cho 19 hoặc b chia hết cho 19.

Nếu a chia hết cho 19, thì a^2 chia hết cho 361. Từ đó suy ra M chia hết cho 361.

Nếu b chia hết cho 19, cũng tương tự, M chia hết cho 361.

Vậy M chia hết cho 361.

3) Ta có 0 ≤ a ≤ b + 1 ≤ c + 3 và a + b + c = 2024.

Vì a ≤ b + 1, nên a + b ≤ b + 1 + b = 2b + 1.

Vì b + 1 ≤ c + 3, nên b + c ≤ c + 3 + c = 2c + 3.

Từ đó suy ra a + b + c ≤ 2b + 1 + 2c + 3 = 2(b + c) + 4.

Vì a + b + c = 2024, nên 2(b + c) + 4 = 2024.

=> 2(b + c) = 2020.

=> b + c = 1010.

Vì a ≤ b + 1, nên a ≤ 1011.

Vậy GTNN của c là 1010.